极限与连续
1 极限的基本概念
极限是高等数学的基础概念,主要包括：
- 数列极限：当n→∞时，数列{aₙ}趋近于某个确定值A
- 函数极限：当x→x₀时，函数f(x)趋近于某个确定值A
重要公式：
- 两个重要极限：
- lim(x→0) sinx/x = 1
- lim(x→∞)(1+1/x)^x = e
2 连续性
函数f(x)在点x₀连续的条件：
- f(x₀)存在
- lim(x→x₀)f(x)存在
- lim(x→x₀)f(x)=f(x₀)
考试重点：
- 判断函数的间断点类型（可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点）
- 闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理、介值定理）
导数与微分
1 导数定义
f'(x₀) = lim(Δx→0)[f(x₀+Δx)-f(x₀)]/Δx
2 常见求导公式
- 基本初等函数导数
- 四则运算求导法则
- 复合函数求导法则（链式法则）
- 隐函数求导法
- 参数方程求导法
3 微分中值定理
- 罗尔定理
- 拉格朗日中值定理
- 柯西中值定理
考试重点：
- 利用导数求函数的单调性、极值、凹凸性、拐点
- 洛必达法则求极限
- 泰勒公式展开
不定积分与定积分
1 不定积分
- 基本积分公式表
- 换元积分法（第一类换元、第二类换元）
- 分部积分法
- 有理函数积分
2 定积分
- 牛顿-莱布尼兹公式
- 定积分的换元法和分部积分法
- 广义积分（反常积分）
考试重点：
- 计算各种类型的积分
- 定积分的几何应用（面积、体积、弧长）
- 物理应用（功、压力、质心）
多元函数微积分
1 多元函数微分学
- 偏导数
- 全微分
- 方向导数与梯度
- 多元函数的极值（无条件极值、条件极值）
2 重积分
- 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）
- 三重积分的计算（直角坐标、柱坐标、球坐标）
考试重点：
- 计算多元复合函数的偏导数
- 利用拉格朗日乘数法求条件极值
- 重积分的计算与应用
无穷级数
1 数项级数
- 收敛与发散的定义
- 正项级数审敛法（比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法）
- 交错级数审敛法（莱布尼兹判别法）
- 绝对收敛与条件收敛
2 幂级数
- 收敛半径与收敛区间
- 幂级数的和函数
- 泰勒级数与麦克劳林级数
考试重点：
- 判断级数的收敛性
- 求幂级数的收敛域
- 函数的幂级数展开
常微分方程
1 一阶微分方程
- 可分离变量方程
- 齐次方程
- 线性方程
- 伯努利方程
2 高阶线性微分方程
- 常系数齐次线性方程
- 常系数非齐次线性方程（待定系数法）
考试重点：
- 求解各类微分方程
- 应用问题建模（如人口增长模型、弹簧振动模型）
向量代数与空间解析几何
1 向量运算
- 向量的线性运算
- 数量积、向量积、混合积
2 空间几何
- 平面方程
- 直线方程
- 曲面方程（二次曲面）
考试重点：
- 计算向量的各种积
- 求平面与直线的方程
- 判断空间几何元素的位置关系
考试技巧与复习建议
- 概念理解：高等数学不是死记硬背的科目，理解概念的本质比记忆公式更重要
- 典型例题：掌握教材中的典型例题，考试题目往往来源于此
- 错题整理：建立错题本，分析错误原因，避免重复犯错
- 时间分配：考试时合理分配时间，先做会做的题目
- 检查验证：完成题目后要验证结果是否合理
常见易错点
- 极限计算时忽略等价无穷小的使用条件
- 求导时漏掉复合函数的链式法则
- 积分时忘记加常数C
- 判断级数收敛性时混淆各种审敛法
- 解微分方程时忽略初始条件
参考书目推荐
- 《高等数学》（同济大学第七版）
- 《微积分学教程》（菲赫金哥尔茨）
- 《托马斯微积分》
- 《数学分析》（华东师范大学版）
引用说明综合参考了多本高等数学教材和教学大纲，结合多年教学经验编写而成，旨在帮助学生系统复习高等数学重点考试内容。
