核心知识点梳理
函数与极限
- 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
- 极限定义：ε-δ语言、单侧极限、无穷极限
- 极限计算：
- 四则运算法则
- 夹逼准则
- 两个重要极限：lim(x→0) sinx/x=1；lim(x→∞)(1+1/x)^x=e
- 洛必达法则（0/0型、∞/∞型）
- 连续性：定义、间断点分类（可去、跳跃、无穷、振荡）
导数与微分
- 导数定义：f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
- 求导法则：
- 基本求导公式（16个基本公式）
- 四则运算求导
- 复合函数求导（链式法则）
- 隐函数求导
- 参数方程求导
- 对数求导法
- 高阶导数：莱布尼茨公式
- 微分：dy=f'(x)dx，微分近似计算
微分中值定理及应用
- 三大定理：
- 罗尔定理
- 拉格朗日中值定理
- 柯西中值定理
- 泰勒公式：麦克劳林展开、佩亚诺余项、拉格朗日余项
- 函数性质研究：
- 单调性判定（一阶导数）
- 极值判定（一阶导数、二阶导数）
- 凹凸性与拐点（二阶导数）
- 渐近线（水平、垂直、斜）
- 最值应用：实际问题建模与求解
不定积分
- 基本积分公式（24个基本公式）
- 积分方法：
- 第一类换元法（凑微分）
- 第二类换元法（三角代换、根式代换等）
- 分部积分法（∫udv=uv-∫vdu）
- 有理函数积分（部分分式分解）
- 三角函数积分（万能代换等）
定积分及其应用
- 定义：黎曼和极限
- 性质：线性性、区间可加性、比较定理
- 微积分基本定理：
- 第一基本定理：d/dx∫[a→x]f(t)dt=f(x)
- 第二基本定理：∫[a→b]f(x)dx=F(b)-F(a)
- 积分方法：与不定积分类似
- 反常积分：无穷限积分、瑕积分
- 应用：
- 平面图形面积
- 旋转体体积（圆盘法、柱壳法）
- 弧长计算
- 物理应用（功、压力等）
典型题型解析
极限计算题
例题：求lim(x→0)(e^x -1 -x)/x²
解法：
- 直接代入得0/0型，可用洛必达法则
- 第一次洛必达：lim(x→0)(e^x -1)/2x
- 仍为0/0型，第二次洛必达：lim(x→0)e^x/2 = 1/2
技巧：遇到复杂极限可考虑泰勒展开，如e^x≈1+x+x²/2+o(x²)
导数应用题
例题：求y=x^x的导数
解法：
- 取对数：lny=xlnx
- 隐函数求导：(1/y)y'=lnx+1
- 解得：y'=y(lnx+1)=x^x(lnx+1)
中值定理证明题
例题：证明方程x³-3x²+1=0在(0,1)内至少有一个实根
解法：
- 设f(x)=x³-3x²+1
- f(0)=1>0, f(1)=-1<0
- 由零点定理，存在c∈(0,1)使f(c)=0
积分计算题
例题：求∫x²e^xdx
解法：
- 使用分部积分法，设u=x², dv=e^xdx
- 第一次分部：x²e^x - ∫2xe^xdx
- 第二次分部：x²e^x - 2(xe^x - ∫e^xdx)
- 最终结果：e^x(x²-2x+2)+C
应试技巧
时间分配建议
- 选择题（30%考试时间）
- 填空题（20%考试时间）
- 计算题（30%考试时间）
- 证明题（20%考试时间）
常见错误警示
- 极限计算时忽略不定型判断直接使用洛必达
- 求导时混淆复合函数与乘积函数
- 积分时忘记加常数C
- 使用中值定理时忽略条件验证
- 符号错误（特别是负号和微分符号）
检查策略
- 导数结果可用微分验证
- 积分结果可通过求导验证
- 极限结果可用数值代入验证
- 图形题可画简图辅助理解
备考资源推荐
经典教材
- 《高等数学》（同济大学第七版）
- 《微积分教程》（菲赫金哥尔茨）
- 《数学分析》（卓里奇）
习题集
- 《高等数学习题全解指南》（同济版配套）
- 《吉米多维奇数学分析习题集》
- 《考研数学历年真题》
在线资源
- 中国大学MOOC（慕课）平台的高数课程
- MIT OpenCourseWare微积分公开课
- 3Blue1Brown《微积分的本质》视频系列
考试心态调整
- 考前一周：重点复习错题集，不再做新题
- 考前一天：梳理知识框架，保证充足睡眠
- 考试中：先易后难，遇到难题标记后跳过
- 时间管理：留出10-15分钟检查时间
特别提醒：高数学习重在理解概念本质，而非单纯记忆公式，考试中遇到陌生题型时，尝试将其分解为已知的基本问题,运用数学思维逐步解决。
参考文献：
- 同济大学数学系. 高等数学(第七版)[M]. 高等教育出版社, 2014.
- 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程[M]. 高等教育出版社, 2006.
- 教育部考试中心. 全国硕士研究生招生考试数学考试分析[M]. 高等教育出版社, 2023.
- MIT OpenCourseWare. Single Variable Calculus[OL]. https://ocw.mit.edu, 2022.
