微分几何是数学的重要分支，研究曲线、曲面及更高维流形的几何性质，本考试大纲旨在帮助考生系统掌握微分几何的核心概念、定理及应用，适用于数学系本科生及研究生课程考核。
考试范围与重点
曲线论
- 曲线的参数表示：弧长参数、自然方程
- Frenet标架：切向量、法向量、副法向量
- 曲率与挠率：定义、几何意义、计算
- 曲线的基本定理：唯一性定理、存在性定理
曲面论
- 曲面的参数表示：第一基本形式、第二基本形式
- 曲面的度量：高斯曲率、平均曲率、主曲率
- 曲面的局部性质：可展曲面、极小曲面
- 高斯-博内定理：曲率与拓扑的关系
微分流形基础
- 流形的定义：坐标卡、光滑结构
- 切空间与余切空间：切向量、微分形式
- 张量场与联络：黎曼度量、Levi-Civita联络
- 曲率张量：黎曼曲率、Ricci曲率、标量曲率
应用与拓展
- 测地线：定义、性质、变分法
- 黎曼几何初步：测地坐标系、指数映射
- 现代微分几何前沿：如辛几何、复几何简介
考试形式与评分标准
- 题型：选择题（20%）、计算题（30%）、证明题（50%）
- 难度分布：基础概念（30%）、综合应用（50%）、拓展思考（20%）
- 评分标准：逻辑严谨性、计算准确性、证明完整性
推荐教材与参考书
- 《微分几何》 – 梅向明、黄敬之
- 《Differential Geometry of Curves and Surfaces》 – Manfredo P. do Carmo
- 《黎曼几何初步》 – 伍鸿熙
备考建议
- 掌握核心定理：如Frenet公式、高斯-博内定理等。
- 多做计算练习：曲率、测地线等计算题需熟练。
- 理解几何直观：结合图形分析问题。
- 参考历年真题：熟悉命题风格与高频考点。
引用说明参考自经典微分几何教材及高校课程大纲,确保学术准确性。
