什么是线形规划？
线形规划(Linear Programming，简称LP)是运筹学中一种重要的数学优化方法，用于在给定的线性约束条件下，寻找线性目标函数的最大值或最小值，它广泛应用于经济学、工程学、军事、管理科学等领域。
线形规划的基本要素
- 决策变量：需要确定的未知数，通常用x₁, x₂,...,xₙ表示
- 目标函数：需要最大化或最小化的线性函数
- 约束条件：限制决策变量取值范围的线性不等式或等式
- 非负约束：决策变量通常要求非负
线形规划考试常见题型
基础概念题
考察对线形规划基本概念的理解：
- 判断给定的数学表达式是否为线形规划问题
- 识别问题中的决策变量、目标函数和约束条件
- 解释可行解、最优解等术语
例题：下列哪一项不是线形规划问题的必要组成部分？ A) 决策变量 B) 目标函数 C) 约束条件 D) 整数解
建模题
将实际问题转化为线形规划数学模型是考试的重点：
- 生产计划问题
- 运输问题
- 投资组合问题
- 营养配餐问题
例题：某工厂生产A、B两种产品，每生产一件A产品需要2小时人工和1小时机器时间，利润300元；每生产一件B产品需要1小时人工和3小时机器时间，利润500元，工厂每天最多有100小时人工和150小时机器时间可用,如何建立利润最大化的线形规划模型？
图形解法题
对于两个变量的线形规划问题,常用图形法求解：
- 绘制可行域
- 寻找极点
- 确定最优解
解题步骤：
- 将不等式约束转化为等式，绘制直线
- 确定每个不等式对应的可行半平面
- 找出所有约束的交集(可行域)
- 计算可行域顶点的目标函数值
- 比较得出最优解
单纯形法题
单纯形法是解决线形规划问题的通用算法：
- 将问题转化为标准形式
- 建立初始单纯形表
- 进行迭代运算
- 判断最优性
- 处理特殊情况(退化、无界解等)
关键点：
- 选择入基变量(最大正检验数)
- 选择出基变量(最小比值检验)
- 主元运算
对偶理论题
线形规划的对偶理论是考试难点：
- 写出原问题的对偶问题
- 解释对偶变量的经济意义
- 利用对偶单纯形法求解
- 互补松弛条件
例题：给定原问题，写出其对偶问题： 最大化 z = 3x₁ + 4x₂ 约束条件： 2x₁ + x₂ ≤ 10 x₁ + 2x₂ ≤ 8 x₁, x₂ ≥ 0
线形规划考试高分技巧
掌握核心概念
- 理解可行域、极点、最优解等几何意义
- 熟悉单纯形法的基本原理和步骤
- 掌握对偶问题的转换规则
熟练建模方法
- 从实际问题中识别决策变量
- 正确表达目标函数(最大化或最小化)
- 准确列出所有约束条件
- 注意变量的非负性
提高计算准确性
- 单纯形法运算步骤多，容易出错
- 建议使用表格形式清晰展示每一步
- 检查基变量对应的列是否为单位向量
- 验证最终解是否满足所有约束
理解经济解释
- 对偶变量的影子价格意义
- 灵敏度分析的实际应用
- 资源变化对最优解的影响
时间管理策略
- 先做概念题和简单计算题
- 建模题留足时间，确保逻辑完整
- 复杂计算题检查关键步骤即可
常见错误与避免方法
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建模错误：混淆最大化与最小化、遗漏约束条件
解决方法：仔细阅读题目，列出所有限制条件
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图形法错误：可行域绘制不准确、极点遗漏
解决方法：系统性地求约束直线的交点
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单纯形法错误：入基/出基变量选择错误、计算失误
解决方法：使用表格法，逐步验证
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对偶问题错误：转换规则应用不当
解决方法：记忆标准转换形式，多做练习
备考资源推荐
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教材选择：
- 《运筹学》(清华大学出版社)
- 《Introduction to Linear Programming》(Luenberger)
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在线课程：
- Coursera上的"Linear Programming"课程
- MIT OpenCourseWare的运筹学公开课
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练习工具：
- Excel Solver进行建模练习
- Python的PuLP库实现算法
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模拟试题：
- 历年考研运筹学真题
- 国际数学建模竞赛题目
考试注意事项
- 携带工具：允许使用计算器时，确保熟练掌握其矩阵运算功能
- 答题规范：建模题要写出完整数学模型，计算题展示关键步骤
- 时间分配：概念题(20%)、建模题(30%)、计算题(50%)
- 检查重点：变量非负性、约束不等式方向、目标函数极值
线形规划作为运筹学的基础内容，其考试重点在于理解和应用，通过系统学习基本概念，大量练习建模和计算方法，掌握对偶理论和灵敏度分析，考生完全可以在考试中取得优异成绩，建议考前集中练习5-8套完整试题，针对薄弱环节重点突破。 参考了多本运筹学经典教材和公开教学资源，结合了多位高校教师的线形规划教学经验，力求准确全面地覆盖考试要点，具体解题方法请以授课教师要求为准。*
