之一,广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域，无论是数学专业的学生，还是相关领域的学者，掌握群论的基本概念和解题技巧都至关重要，本文整理了一套典型的群论考试试题，并附上详细解析，帮助读者巩固知识、提升应试能力。
基本概念题
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定义群（Group）并举例说明。
解析： 群是一个集合 ( G ) 配备一个二元运算 ( * )，满足以下四条公理：- 封闭性：( \forall a, b \in G, a * b \in G )；
- 结合律：( \forall a, b, c \in G, (a b) c = a (b c) )；
- 单位元：( \exists e \in G, \forall a \in G, e a = a e = a )；
- 逆元：( \forall a \in G, \exists b \in G, a b = b a = e )。
例子：
- 整数集 ( \mathbb{Z} ) 关于加法构成群，单位元是 0，逆元是相反数。
- 非零实数集 ( \mathbb{R}^* ) 关于乘法构成群，单位元是 1，逆元是倒数。
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证明：群的单位元唯一。
解析： 假设 ( e ) 和 ( e' ) 都是单位元，则 ( e = e * e' = e' )，故唯一。
子群与陪集
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设 ( H ) 是群 ( G ) 的子群，证明：( H ) 的左右陪集相等当且仅当 ( H ) 是正规子群。
解析：
- 必要性：若 ( H ) 正规，则 ( \forall g \in G, gH = Hg )。
- 充分性：若 ( \forall g \in G, gH = Hg )，则 ( gHg^{-1} = H )，故 ( H ) 正规。
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计算对称群 ( S_3 ) 的所有子群。
解析：
( S_3 ) 有 6 个元素：( {e, (12), (13), (23), (123), (132)} )。- 平凡子群：( {e} )、( S_3 )；
- 二阶子群：( {e, (12)} )、( {e, (13)} )、( {e, (23)} )；
- 三阶子群：( {e, (123), (132)} )。
同态与同构
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证明：群同态 ( \phi: G \to H ) 的核 ( \ker \phi ) 是 ( G ) 的正规子群。
解析：- ( \ker \phi = { g \in G \mid \phi(g) = e_H } )；
- 对任意 ( g \in G )、( k \in \ker \phi )，有 ( \phi(gkg^{-1}) = \phi(g)\phi(k)\phi(g)^{-1} = e_H )，故 ( gkg^{-1} \in \ker \phi )，即 ( \ker \phi ) 正规。
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判断 ( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} ) 与 ( S_3 ) 是否同构，并说明理由。
解析：- ( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} ) 是 6 阶循环群，而 ( S_3 ) 是非交换群；
- 循环群均交换,故不同构。
群作用与 Sylow 定理
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设群 ( G ) 作用在集合 ( X ) 上，证明轨道公式：
[ |X| = |\text{Fix}(G)| + \sum |G : G_x| ]
( \text{Fix}(G) ) 是不动点集，( G_x ) 是稳定子群。
解析：
- 轨道分解 ( X = \text{Fix}(G) \cup \bigcup \text{非平凡轨道} )；
- 每个非平凡轨道大小 ( |G \cdot x| = |G : G_x| )，求和即得。
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应用 Sylow 定理证明：15 阶群必为循环群。
解析：- ( |G| = 15 = 3 \times 5 )；
- Sylow 3-子群数量 ( n_3 \equiv 1 \mod 3 ) 且 ( n_3 \mid 5 )，故 ( n_3 = 1 )；
- Sylow 5-子群数量 ( n_5 \equiv 1 \mod 5 ) 且 ( n_5 \mid 3 )，故 ( n_5 = 1 )；
- 存在唯一的 3 阶子群 ( P ) 和 5 阶子群 ( Q )，且 ( P \cap Q = {e} )；
- ( G \cong P \times Q \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}5 \cong \mathbb{Z}{15} )，故循环。
综合应用题
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设 ( G ) 是有限群，( H ) 是 ( G ) 的真子群，证明：( G \neq \bigcup_{g \in G} gHg^{-1} )。
解析：- 共轭子群 ( gHg^{-1} ) 的阶相同，且 ( \bigcup gHg^{-1} ) 至多覆盖 ( [G : N_G(H)] (|H| - 1) + 1 ) 个元素；
- 由于 ( H ) 是真子群，覆盖数 ( < |G| )。
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证明：非交换单群的阶至少为 60。
解析：- 检查低阶群：
- 1-30 阶群中，非 Abel 单群仅有 ( A_5 )（60 阶）；
- 36、48 阶群均有非平凡正规子群；
- 故最小非交换单群为 ( A_5 )。
- 检查低阶群：
群论的学习需要扎实的基础和灵活的思维,通过反复练习典型题目，深入理解定义和定理，才能在考试中游刃有余，对于抽象概念，建议结合具体例子加深印象，例如对称群、循环群等。
