杨辉三角的核心性质
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递推关系
每个数等于上方两数之和（边界值为1），即：
$$C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)$$
考试应用：填空题要求补全某一行缺失的数字,或证明递推公式。
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组合数性质
第n行第k个数对应组合数$C(n,k)$（行列编号通常从0开始）。
真题案例："已知杨辉三角第7行从左到右第4个数为____"
（答案：$C(6,3)=20$,注意行列起始索引） -
对称性与二项式定理
第n行数字对应$(a+b)^n$展开式的系数，如：
$$(a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$$
常见题型：求特定项系数或逆向构造多项式。
高频考试题型分类
（1）基础识别题
- 题型特征：直接考察杨辉三角的构造或特定位置数值。
- 解题技巧：
- 快速绘制前6行（熟练背诵可节省时间）
- 注意题目是否明确行列编号从0或1开始
（2）组合应用题
- 典型问题：
"从A地到B地有n条路径，求经过某点的路径总数"
解法：转化为杨辉三角中的组合数计算。
（3）与数列结合
- 拓展考点：
- 第n行数字之和为$2^{n-1}$
- 斜向数字构成斐波那契数列、等差数列等
例题："求杨辉三角前10行所有奇数个数之和"
（需观察二进制位模式）
易错点与应试技巧
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索引混淆
超50%错误源于行列计数起点不清，务必审题确认是“第几行”还是“索引为n的行”。 -
记忆简化法
推荐口诀：一两边，一中间， 上加下和写下面。 -
可视化辅助
复杂问题时手绘局部三角图,避免纯心算出错。
近年创新题型趋势
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编程思维题
部分省市中考出现“用循环结构输出杨辉三角前N行”的伪代码题。
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跨学科融合
如概率问题："抛硬币n次,正面出现k次的概率与杨辉三角的关系"
参考资料：
- 人教版高中数学选修3-1《组合数学》
- 近五年中考/高考数学真题统计分析
- 国际数学奥林匹克竞赛（IMO）组合数学专题
（注：本文例题均为简化示例，实际练习请以官方教材和真题为准）
