行列式
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二阶行列式
[ \begin{vmatrix} a & b \ c & d \ \end{vmatrix} = ad - bc ]
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三阶行列式（沙路法则）
[ \begin{vmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \ \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) ] -
行列式性质
- 交换两行（列），行列式变号。
- 某行（列）乘以常数( k )，行列式变为( k )倍。
- 行列式某行（列）可拆分为两数之和时，行列式可拆分为两个行列式之和。
矩阵运算
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矩阵乘法
若( A )是( m \times n )矩阵，( B )是( n \times p )矩阵，则( C = AB )的每个元素为：
[ c{ij} = \sum{k=1}^n a{ik}b{kj} ] -
逆矩阵
- 若( A )可逆，则( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) )， \text{adj}(A) )为伴随矩阵。
- 二阶矩阵逆公式：
[ \begin{pmatrix} a & b \ c & d \ \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \ \end{pmatrix} ]
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矩阵的秩
行秩 = 列秩 = 非零子式的最高阶数。
向量与空间
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向量点积
[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n ] -
向量叉积（仅限三维）
[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ u_1 & u_2 & u_3 \ v_1 & v_2 & v_3 \ \end{vmatrix} ] -
线性相关与无关
向量组线性相关 ⇔ 存在不全为零的标量( c_1, c_2, \ldots, c_k )，使得( c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0} )。
特征值与特征向量
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特征方程
对于矩阵( A )，特征值( \lambda )满足：
[ \det(A - \lambda I) = 0 ] -
对角化
若( A )有( n )个线性无关的特征向量，则( A )可对角化为( P^{-1}AP = D )， D )为对角矩阵。
二次型
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标准形
通过正交变换( \mathbf{x} = Q\mathbf{y} )，二次型可化为：
[ f(\mathbf{x}) = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2 ] -
正定矩阵判定
- 所有特征值大于零。
- 各阶顺序主子式大于零。
特殊矩阵
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对称矩阵
( A^T = A )，特征值为实数，特征向量正交。 -
正交矩阵
( Q^T Q = I )，行列式为( \pm 1 )。
引用说明
本文公式参考《线性代数及其应用》（David C. Lay）及MIT OpenCourseWare线性代数课程，建议结合教材例题练习以加深理解。
（完）
