数值分析是研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其理论的学科,是数学、计算机科学与工程应用之间的桥梁学科，本课程主要介绍数值计算的基本概念、基本原理和基本方法，培养学生运用数值方法解决实际问题的能力。
考试目标
- 掌握数值分析的基本概念、基本原理和基本方法
- 理解数值计算中的误差来源及其传播规律
- 掌握常用数值算法的构造原理和实现步骤
- 能够分析算法的收敛性、稳定性和计算复杂度
- 具备运用数值方法解决实际工程问题的能力
第一章 数值计算基础
- 数值计算的特点与基本概念
- 误差的基本概念与分类
- 绝对误差与相对误差
- 截断误差与舍入误差
- 误差的传播与积累
- 数值计算的稳定性与病态问题
- 算法设计的基本原则
第二章 非线性方程求根
- 二分法及其收敛性分析
- 不动点迭代法
- 收敛条件与收敛阶
- 局部收敛与全局收敛
- Newton迭代法及其变形
- 割线法与Muller方法
- 非线性方程组的数值解法简介
第三章 线性方程组的数值解法
- 高斯消去法及其改进
- 主元选择策略
- 矩阵的三角分解
- 矩阵的LU分解
- 追赶法求解三对角方程组
- 迭代法
- Jacobi迭代法
- Gauss-Seidel迭代法
- SOR迭代法
- 迭代法的收敛性分析
第四章 插值法
- 多项式插值的基本概念
- Lagrange插值多项式
- Newton插值多项式
- 分段低次插值
- 分段线性插值
- 分段三次Hermite插值
- 三次样条插值
第五章 数值积分与数值微分
- 数值积分的基本概念
- Newton-Cotes公式
- 梯形公式
- Simpson公式
- 复化求积公式
- Romberg积分法
- Gauss型求积公式
- 数值微分的基本方法
第六章 常微分方程数值解法
- 欧拉方法及其改进
- Runge-Kutta方法
- 单步法的收敛性与稳定性
- 线性多步法
Adams显式与隐式公式
- 方程组与高阶方程的数值解法
考试形式与评分标准
- 考试形式：闭卷笔试
- 考试时间：120分钟
- 试卷结构：
- 选择题：20分（10题，每题2分）
- 填空题：20分（10空，每空2分）
- 计算题：40分（4题，每题10分）
- 证明与分析题：20分（2题，每题10分）
- 评分标准：
- 概念理解：30%
- 计算能力：40%
- 分析证明：30%
参考教材
- 《数值分析》（第五版），李庆扬等著，清华大学出版社
- 《Numerical Analysis》（9th Edition）, Richard L. Burden等著
- 《数值计算方法》，林成森编著，科学出版社
备考建议
- 重点掌握各类算法的推导过程和实现步骤
- 理解误差分析的基本方法,能够进行简单的误差估计
- 熟悉常见算法的收敛性条件和稳定性分析
- 通过大量练习掌握数值计算的技巧
- 注意算法在实际应用中的限制条件和适用范围
常见考点分析
- 误差分析：误差来源、误差传播、有效数字计算
- 迭代法：收敛条件、收敛速度比较、迭代格式构造
- 线性方程组：直接法与迭代法的比较、特殊矩阵的处理
- 插值法：不同插值方法的比较、Runge现象
- 数值积分：不同求积公式的代数精度、误差估计
- 微分方程：单步法与多步法的稳定性分析
注意事项
- 考试时允许使用简易计算器（无编程功能）
- 考试中涉及到的公式将统一提供
- 证明题需要写出完整的推导过程
- 计算题要求写出主要计算步骤
- 注意单位的统一和有效数字的保留
