杨辉三角的基础知识
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定义与结构
杨辉三角是一个无限对称的数字三角形，其第( n )行第( k )项（从0开始计数）表示组合数( C(n,k) )。
第0行：1 第1行：1 1 第2行：1 2 1 第3行：1 3 3 1 -
核心性质
- 递推关系：每一项等于上方两项之和，即( C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) )。
- 二项式展开：第( n )行对应( (a+b)^n )展开式的系数。
- 对称性：( C(n,k) = C(n, n-k) )。
考试中的高频题型
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直接计算题 示例：求( (x+1)^5 )的展开式中( x^3 )的系数。
解法：根据杨辉三角第5行（1 5 10 10 5 1），系数为10。 -
递推与规律题 示例：已知杨辉三角前6行，求第7行的数字。
解法：利用递推性质逐行推导（1 6 15 20 15 6 1）。
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组合应用题 示例：从5人中选3人组成小组，有多少种选法？
解法：直接对应( C(5,3) = 10 )。
备考策略与技巧
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记忆关键行数
建议熟记前6行的数字，可快速应对基础题。 -
联系实际应用
通过概率、排列组合等题目理解杨辉三角的实用性。
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易错点提醒
- 行数和项数的起始位置（通常从0开始）。
- 区分“排列”与“组合”的概念。
常见问题解答
Q1：杨辉三角和帕斯卡三角有什么区别？
A：两者本质相同，帕斯卡三角是欧洲数学家的命名，而杨辉三角最早见于中国南宋数学家杨辉的著作。
Q2：如何快速验证杨辉三角的正确性？
A：检查每行首尾是否为1，且中间项是否满足递推公式。
扩展学习资源
- 推荐教材：《组合数学基础》《中学数学竞赛教程》
- 在线工具：Wolfram Alpha组合数计算器、动态杨辉三角生成器
引用说明 参考了人教版高中数学教材、《数学竞赛研究教程》（单墫著），并结合历年高考真题分析，组合数公式部分依据国际标准ISO 80000-2规范表述。
