相轨迹分析是动态系统研究中的重要工具,特别适用于非线性系统的稳定性分析，在考试中绘制相轨迹是控制理论、非线性系统等课程常见的考核内容，本文将系统介绍相轨迹的基本概念、绘制方法、典型模式及考试应用技巧。
相轨迹基本概念
相轨迹(Phase Trajectory)是指在相平面(Phase Plane)中描述系统状态随时间变化的轨迹，它由系统的状态变量及其导数构成，通常表示为：
- 一维系统：x(t)与ẋ(t)的关系
- 二维系统：x₁(t)与x₂(t)的关系
相平面是以状态变量为坐标轴的空间，
- 位移x与速度v构成的x-v平面
- 角度θ与角速度ω构成的θ-ω平面
相轨迹绘制方法
解析法绘制步骤
- 建立系统微分方程：将系统表示为ẍ = f(x,ẋ)形式
- 消去时间变量：利用链式法则dẋ/dx = (dẋ/dt)/(dx/dt) = f(x,ẋ)/ẋ
- 积分求解：对上述方程积分得到相轨迹方程
- 绘制图形：根据方程在相平面上绘制曲线
示例：简谐振荡器 ẍ + ω²x = 0
- 设ẋ = y，则ẏ = -ω²x
- dy/dx = -ω²x/y
- 积分得 y² + ω²x² = C (椭圆轨迹)
等倾线法绘制步骤
适用于难以解析求解的非线性系统：
- 设定斜率：令dy/dx = α (常数)
- 建立等倾线方程：解f(x,y) = αy
- 绘制等倾线：在相平面上画出不同α对应的曲线
- 连接切线：沿等倾线方向绘制短线段，连接形成近似轨迹
数值方法
对于复杂系统,可采用：
- 欧拉法
- 龙格-库塔法
- MATLAB等软件的ode45函数
典型相轨迹模式
| 类型 | 特征 | 稳定性 | 示例系统 |
|---|---|---|---|
| 稳定焦点 | 螺旋收敛 | 渐近稳定 | 阻尼振荡 |
| 不稳定焦点 | 螺旋发散 | 不稳定 | 负阻尼系统 |
| 稳定节点 | 直接收敛 | 渐近稳定 | 过阻尼系统 |
| 不稳定节点 | 直接发散 | 不稳定 | 反阻尼系统 |
| 中心点 | 闭合曲线 | 临界稳定 | 无阻尼振荡 |
| 鞍点 | 双曲线 | 不稳定 | 倒立摆无控 |
考试常见题型与解法
给定微分方程绘制相轨迹
解题步骤：
- 转化为状态方程形式
- 确定平衡点(令导数项为零)
- 在平衡点附近线性化(泰勒展开)
- 分析雅可比矩阵特征值
- 根据特征值判断轨迹类型
- 绘制大致图形
例题：绘制ẍ + 3ẋ + 2x = 0的相轨迹
- 解：设x₁=x, x₂=ẋ → ẋ₁=x₂, ẋ₂=-2x₁-3x₂
- 平衡点(0,0)
- 特征方程λ²+3λ+2=0 → λ=-1,-2
- 稳定节点,沿特征向量方向收敛
根据相轨迹判断系统特性
分析要点：
- 闭合曲线→保守系统
- 螺旋收敛→阻尼系统
- 发散轨迹→不稳定系统
- 存在极限环→自持振荡
非线性系统相轨迹
特殊现象：
- 多平衡点
- 极限环
- 分岔现象
- 混沌轨迹
绘制技巧与注意事项
- 平衡点标注：明确标出所有平衡点位置
- 箭头方向：时间增加方向必须标明
- 特征方向：节点类型需画出特征向量方向
- 比例适当：保持x和ẋ轴比例协调
- 典型轨迹：至少画出3-4条代表性轨迹
- 特殊线标注：分隔线、极限环等需特别注明
常见错误与避免方法
-
错误：忽略平衡点分析
- 纠正：首先求出所有平衡点
-
错误：箭头方向混乱
- 纠正：上半平面向右，下半平面向左
-
错误：线性化不当
- 纠正：非线性系统需在多个平衡点分别线性化
-
错误：比例失调
- 纠正：保持两轴单位长度代表相同物理量变化量
考试实用建议
- 时间分配：相轨迹题通常15-25分钟完成
- 步骤分：即使最终图形不完美，清晰展示过程可得大部分分数
- 典型系统记忆：熟记常见系统的相轨迹模式
- 工具准备：考试允许时可准备相轨迹模板
- 验证方法：通过能量分析验证保守系统的闭合轨迹
扩展应用
相轨迹分析不仅用于考试,在实际工程中有广泛应用：
- 机械系统振动分析
- 电力系统稳定性研究
- 生物种群动力学
- 经济系统模型分析
- 机器人运动规划
掌握相轨迹技术为理解复杂系统动态行为提供了直观有效的工具。
参考文献：
- 胡寿松《自动控制原理》(第七版), 科学出版社
- Khalil H.K.《非线性系统》(第三版), 电子工业出版社
- Strogatz S.H.《非线性动力学与混沌》, 高等教育出版社
- IEEE控制系统协会相平面分析教程
- MIT OpenCourseWare非线性系统课程资料
